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PCA와 함수

1. PCA와 함수

1.1 PCA

  • 주성분 분석, 차원축소

  • 잠재변수를 찾는것
    • 잠재변수란 측정되지는 않았지만 측정된 데이터의 기저에 숨어서 측정 데이터를 결정 짓는 변수
    • 1.2 PCA의 수학적 설명

  • 데이터가 원점을 중심으로 존재하는 경우에는 벡터에 변환행렬을 곱하는 연산으로 투영벡터를 계산할 수 있다.
  • PCA의 목표는 변환 결과인 차원축소 벡터 의 벡터의 정보가 원래의 벡터 가졌던 정보와 가장 유사하게 되는 변환행렬 를 찾는 것이다.

  • 목적함수 :

1.3 사이킷런의 PCA 기능

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from sklearn.decomposition import PCA

pca1 = PCA(n_components=1)
X_low = pca1.fit_transform(X)
X2 = pca1.inverse_transform(X_low)

  • 입력 인수
    • n_components : 정수
  • 메서드
    • fit_transform() : 특징행렬을 낮은 차원의 근사행렬로 변환
    • inverse_transform() : 변환된 근사행렬을 원래의 차원으로 복귀
  • 속성
    • mean_ : 평균
    • components_ : 주성분 벡터

2. 함수

2.1 함수란

  • 함수 : 입력값을 출력값으로 바꾸어 출력하는 관계 (Ex 자판기)
  • 정의역 : 입력변수가 가질 수 있는 값의 집합
  • 공역 : 출력변수가 가질수 있는 값의 집합

2.2 변수란

  • 변수 : 어떤 숫자를 대표하는 기호
  • 입력변수 : 입력값을 대표하는 변수
  • 출력변수 : 출력값을 대표하는 변수

2.3 연속과 불연속

  • 불연속 : 함수의 값이 중간에 갑자기 변하는 것
  • 연속 : 가 조금 바뀌면 도 조금 바뀌는 것

2.4 부호함수

  • 입력이 양수이면 1, 음수이면 -1, 0이면 0을 출력하는 에서 불연속 함수, 넘파이에서 sign()으로 사용

2.5 단위계단함수

  • 입력이 0 이상이면 1을, 0 미만이면 0을 출력하는 함수

2.6 지시함수

  • 함수 이름에 아래 첨자로 미리 지정된 값이 들어오면 출력이 1이되고 아니면 출력이 0이 되는 함수

2.7 역함수

  • 어떤 함수의 입력/출력 관계와 정반대의 입출력 관계를 가지는 함수
  • 역함수는 역수와 기호의 의미가 다름
  • 역함수는 항상 존재하는것은 아니다.

2.8 함수의 그래프

  • 함수의 시각화는 그래프와 플롯을 사용한다

2.9 역함수의 그래프

  • 원래의 함수에서 축과 이 바뀐 것이므로 가 나타나는 직선(원점을 통과하는 기울기 1인 직선)을 대칭축으로 대칭인 함수의 그래프와 같다

2.10 다항식 함수

  • 상수항 , 일차항 , 이차항 등의 거듭제곱 항의 선형 조합으로 이루어진 함수다.

2.11 최대 함수

  • 두 인수중 큰값을 출력하는 함수

2.12 최소 함수

  • 두 인수중 작은값을 출력하는 함수

2.13 ReLU 함수

  • 으로 고정하여 입력값 가 양수이면 그대로 출력하고 음수일때는 0으로 만들때 사용한다.
  • 해당 함수는 인공신경망(딥러닝)에서 쓰인다.

2.14 지수함수

  • 밑을 오일러 수 (약 2.718)로 하여 거듭 제곱하는 함수
  • 지수함수는 로 표시하기도 한다.
  • 양수()를 거듭제곱한 값이므로 항상 양수다.
  • 일 때 이 된다.
  • 가 양의 무한대로 가면( ), 양의 무한대로 다가간다.
  • 가 음의 무한대로 가면( ), 0으로 다가간다.
  • 이면 이다.

2.15 로지스틱함수

  • 지수함수의 변형 함수
  • 항상 0과 1사이의 값이 나오며, 단조증가함

2.16 로그함수

  • 를 거듭제곱하여 특정한 수 가 되도록 하는 수를 라 표기하고 로그라고 읽는다
  • 값, 즉 입력변수값이 양수이어야 한다. 0이거나 음수는 안된다.
  • (양수)
  • 이면
  • (음수)
  • 이다.
  • 로그함수의 그래프는 지수함수의 역함수이다.
  • 로그함수는 곱하기를 더하기로 변환한다
  • 어떤함수에 로그를 적용해도 함수의 최고점, 최저점의 위치는 변하지 않는다.
  • 로그함수는 0부터 1사이의 작은 값을 확대시켜 보여준다.
    • 사람관점 : 차이가 확대되어 구별을 잘 할수있게 해줌
    • 컴퓨터관점 : 부동소수점의 단점을 보완 0~1을 더 크게 보여주기때문에

2.17 소프트플러스함수

  • 지수함수와 로그함수를 결합하여 만든 함수
  • 0을 인수로 갖는 최대 함수와 비슷하지만, 근처에서 값이 부드럽게 변함
  • $$$

2.18 다변수함수

  • 복수의 입력변수를 가지는 함수
  • 3차원은 서피스 플롯, 컨투어 플롯으로 시각화

2.19 분리가능 다변수함수

  • 다변수 함수를 단변수함수의 곱으로 표현

2.20 다변수 다출력 함수

  • 입력변수와 출력변수가 여러개인 함수

2.21 소프트 맥스함수(다변수 다출력 함수)

  • 모든 출력 원소는 0과 1사이값을 갖는다.
  • 모든 출력 원소의 합은 1이다.
  • 입력원소의 크기 순서와 출력원소의 크기 순서가 같다.
  • 다변수 입력을 확률처럼 보이게 출력 한다.

2.22 함수의 평행이동

  • 은 오른쪽으로 이동, 는 왼쪽으로 이동
  • 은 아래로 이동, 는 위로 이동

2.23 함수의 스케일링

  • 단변수함수를 x축 방향으로 a배만큼 늘릴려면 함수를 다음처럼 변형한다. 양변에서 늘린것 같은 모양
  • 단변수함수를 y축 방향으로 b배만큼 늘릴려면 함수를 다음처럼 변형한다. 위아래로 늘린것 같은 모양
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